УЧРЕЖДЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ
«ИВЬЕВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
СЕЛЬСКОХОЗЯЙСТВЕННЫЙ ПРОФЕССИОНАЛЬНЫЙ ЛИЦЕЙ»

ЭСО «ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ»

ЭСОТЕЛА ВРАЩЕНИЯСфераТеорема о площади сферы


Пред.СодержаниеСлед.


Площадь части сферы

За площадь части сферы, образованной поворотом какой-нибудь дуги AE полуокружности вокруг диаметра AB на 360°, принимается число, к которому стремится площадь поверхности, образуемой поворотом вокруг того же диаметра правильной вписанной ломаной ACDE, когда её звенья неограниченно уменьшаются.

ТЕОРЕМА:

Пусть секущая плоскость перпендикулярна диаметру сферы радиуса R. Тогда площадь каждой из частей, на которые сфера разбивается секущей плоскостью, равна произведению длины большой окружности данной сферы на длину H соответсвующего отрезка диаметра, т.е. S = 2πRH.

Пусть часть сферы образована поворотом дуги AE вокруг диаметра AB полуокружности, центр которой - точка O1, а радиус - R. Впишем в эту дугу правильную ломаную линию ACDE. Поверхность, полученная при повороте этой ломаной, состоит из частей, образуемых при повороте её звеньев AC,CD,DE,... и т.д. Эти части представляют собой боковые поверхности конуса (образующая AC), усеченного конуса (образующая CD), цилиндра (образующая DE, если DE‖AB).

Заметим, что площадь каждой из указанных боковых поверхностей в силу теоремы о площади боковой поверхности конуса, усеченного конуса и цилиндра равна произведению высоты соответсвующего тела (конуса, усеченного конуса, цилиндра) на длину окружности, радиус которой есть отрезок, соединяющий центр O1 полуокружности и середину соответствующего звена ломаной. Например, площадь боковой поверхности конуса, образованной поворотом звена AC, равна S1=2πO1K·AC1, где K - середина отрезка AC, CC1 ⊥ AB.

Для усеченного конуса, образующая которого CD, площадь боковой поверхности S2 = 2π O1T·C1D1, где точка T - середина отрезка CD, DD1 ⊥ AB.

Для цилиндра, образующая которого DE, площадь боковой поверхности S3 = 2πO1Q·D1E1, где Q - середина отрезка DE, EE1 ⊥ AB.

Заметим, что отрезки, соединяющие центр O1 полуокружности и середины звеньев вписанной ломаной, равны между собой. Обозначим длину этих отрезков через a. Тогда площадь S поверхности, образованной при повороте ломаной ACDE: S = S1 + S2 + S2 = 2πa(AC1 + C1D1 + D1E1) = 2πa·AE1. При неограниченном увеличении числа звеньев вписанной ломаной длина a стермится к радиусу R сферы, а отрезок AE1 остается без изменения.

Следовательно, площадь S поверхности, образованной при повороте ломаной ACDE, стремится к числу 2πR·AE1. Это число принимается за площадь соответсвующей части сферы S = 2πRH.



Пред.СодержаниеСлед.


Наш адрес и контакты | Режим работы лицея | Обращения | Одно окно | Платные услуги | Горячая линия | Для поступающих | Карта сайта

Статистика посещений Яндекс.Метрика | Номер ресурса в БелГИЭ: 137297 | Номер свидетельства в НИРУП «ИППС»: 4141816821

Мы в социальных сетях: ВКонтакте | Одноклассники | Instagram | Youtube