УЧРЕЖДЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ
«ИВЬЕВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
СЕЛЬСКОХОЗЯЙСТВЕННЫЙ ПРОФЕССИОНАЛЬНЫЙ ЛИЦЕЙ»

ЭСО «МНОГОГРАННИКИ»

ЭСОЗадачи


Пред.СодержаниеСлед.


Задача №1

Дана правильная треугольная пирамида, высота которой 3 см., а боковое ребро - 5 см.

Вычислите:

  1. ребро основания пирамиды;
  2. угол наклона бокового ребра к плоскости основания пирамиды;
  3. площадь основания пирамиды;
  4. радиусы вписанной в основание и описанной около основания окружностей;
  5. апофему пирамиды;
  6. угол наклона боковой грани к основанию пирамиды;
  7. площадь боковой поверхности пирамиды;
  8. площадь полной поверхности пирамиды;

Т.к. пирамида правильная, то в её основании лежит правильный треугольник, а высота пирамиды проектируется в центр этого треугольника.

  1. Рассмотрим ∆APH - прямоугольный. По теореме Пифагора: AP² = AH² + PH²; AH² = 5AH² - 3AH² = 16; AH = 4 см. Т.к. точка H является центром равностороннего ∆ABC, то AH:HM = 2:1, тогда AM = 3·AH
    3
    = 6 см. Воспользуемся формулой, связывающей длину высоты равностороннего треугольника с длиной его стороны: h = a3
    2
    , тогда AB = 2AM
    3
    = 12
    3
    = 4√3 см.

  2. PH⊥(ABC) как высота пирамиды; PA - наклонная; PH - перпендикуляр к плоскости основания; AH - проекция наклонной PA на плоскость основания, тогда ∠PAH - угол между боковым ребром PA и плоскостью основания пирамиды (по определению угла между прямой и плоскостью).

    ∆ APH - прямоугольный (∠PHA=90°), тогда по определению синуса sin A = PH
    PA
    = 3
    5
    , поэтому ∠A = arcsin3
    5
    .

  3. В равностороннем ∆ABC воспользуемся формулой, связывающей площадь равностороннего треугольника и длину его стороны S = a²√3
    4
    , тогда SABC = (4√3)²√3
    4
    = 16·3·√3
    4
    = 12√3

    Т.к. точка H является центром ∆ABC, то R = AH = 4 см; r = HM = ½AH = 2 см.

  4. Апофемой пирамиды является отрезок MP. ∆MPH - прямоугольный (∠PHM = 90°), в котором HM = ½AH = 2 см. По теореме Пифагора имеем: MP² = MH² + PH²; MP² = 2²+3² = 13; MP = 13 см.

  5. AM⊥BC, т.к. AM - высота равностороннего ∆ABC, PH⊥(ABC) как высота пирамиды, PM⊥BC по теореме о трёх перпендикулярах, тогда ∠PMH - линейный угол двугранного угла между плоскостями боковой грани PBC и основания.

  6. Рассмотрим ∆MPH - прямоугольный, по определению синуса:
    sin M = PH
    PM
    =   2  
    13
    , тогда ∠M = arcsin.

  7. Площадь боковой поверхности правильной пирамиды найдём по формуле:
    Sбок = ½Pосн·ha, где ha = PM = 13 см., тогда Sбок = ½·3·4√3·13 = 6√26 см².

  8. Площадь полной поверхности пирамиды находим по формуле:
    Sполн = Sбок + Sосн, тогда Sполн = 6√26 + 12√3 см².



Пред.СодержаниеСлед.


Наш адрес и контакты | Режим работы лицея | Обращения | Одно окно | Платные услуги | Горячая линия | Для поступающих | Карта сайта

Статистика посещений Яндекс.Метрика | Номер ресурса в БелГИЭ: 137297 | Номер свидетельства в НИРУП «ИППС»: 4141816821

Мы в социальных сетях: ВКонтакте | Одноклассники | Instagram | Youtube