ГЛАВНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ
ГРОДНЕНСКОГО ОБЛАСТНОГО ИСПОЛНИТЕЛЬНОГО КОМИТЕТА
УЧРЕЖДЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ «ИВЬЕВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОЛЛЕДЖ»
ЭСО «МНОГОГРАННИКИ»
Пред. ← Содержание → След.
Задача №1
Дана правильная треугольная пирамида, высота которой 3 см., а боковое ребро - 5 см.
Вычислите:
- ребро основания пирамиды;
- угол наклона бокового ребра к плоскости основания пирамиды;
- площадь основания пирамиды;
- радиусы вписанной в основание и описанной около основания окружностей;
- апофему пирамиды;
- угол наклона боковой грани к основанию пирамиды;
- площадь боковой поверхности пирамиды;
- площадь полной поверхности пирамиды;
Т.к. пирамида правильная, то в её основании лежит правильный треугольник, а высота пирамиды проектируется в центр этого треугольника.
Рассмотрим ∆APH - прямоугольный. По теореме Пифагора: AP² = AH² + PH²; AH² = 5AH² - 3AH² = 16; AH = 4 см. Т.к. точка H является центром равностороннего ∆ABC, то AH:HM = 2:1, тогда AM = 3·AH
3 = 6 см. Воспользуемся формулой, связывающей длину высоты равностороннего треугольника с длиной его стороны: h = a√3
2, тогда AB = 2AM
√3= 12
√3= 4√3см.PH⊥(ABC) как высота пирамиды; PA - наклонная; PH - перпендикуляр к плоскости основания; AH - проекция наклонной PA на плоскость основания, тогда ∠PAH - угол между боковым ребром PA и плоскостью основания пирамиды (по определению угла между прямой и плоскостью).
∆ APH - прямоугольный (∠PHA=90°), тогда по определению синуса sin A = PH
PA = 3
5, поэтому ∠A = arcsin3
5.В равностороннем ∆ABC воспользуемся формулой, связывающей площадь равностороннего треугольника и длину его стороны S = a²√
3
4, тогда SABC = (4√3)²√3
4 = 16·3·√3
4 = 12√3Т.к. точка H является центром ∆ABC, то R = AH = 4 см; r = HM = ½AH = 2 см.
Апофемой пирамиды является отрезок MP. ∆MPH - прямоугольный (∠PHM = 90°), в котором HM = ½AH = 2 см. По теореме Пифагора имеем: MP² = MH² + PH²; MP² = 2²+3² = 13; MP = √
13см.AM⊥BC, т.к. AM - высота равностороннего ∆ABC, PH⊥(ABC) как высота пирамиды, PM⊥BC по теореме о трёх перпендикулярах, тогда ∠PMH - линейный угол двугранного угла между плоскостями боковой грани PBC и основания.
Рассмотрим ∆MPH - прямоугольный, по определению синуса:
sin M = PH
PM = 2
√13, тогда ∠M = arcsin.Площадь боковой поверхности правильной пирамиды найдём по формуле:
Sбок = ½Pосн·ha, где ha = PM = √13см., тогда Sбок = ½·3·4√3·√13= 6√26см².Площадь полной поверхности пирамиды находим по формуле:
Sполн = Sбок + Sосн, тогда Sполн = 6√26+ 12√3см².
Пред. ← Содержание → След.