Пред. ← Содержание → След.

Правильная пирамида

ОПРЕДЕЛЕНИЕ:

Пирамида называется правильной, если её основание - правильный n-угольник, а все боковые рёбра равны.

ТЕОРЕМА

О высоте правильной пирамиды

В правильной пирамиде отрезок, соединяющий вершину пирамиды с центром её основания, является высотой пирамиды.

Для определённости проведём доказательство для правильной шестиугольной пирамиды SABCDEF:

Пусть точка O - центр шестиугольника ABCDEF. Докажем, что отрезок SO есть высота пирамиды. Рассмотрим какие-нибудь два диагональных сечения, проходящие через отрезок SO, например треугольники ASD и CSF. Указанные теругольники являются равнобедренными (все боковые ребра правильной пирамиды равны), следовательно, в каждом из них медиана SO является высотой, т.е. SO ⊥ FC, SO ⊥ AD

Таким образом, прямая SO перпендикулярна двум пересекающимся прямым FC и AD плоскости основания, а значит она перпендикулярная этой плоскости. Таким образом отрезок SO перпендикулярен плоскости основания, т.е. является высотой пирамиды.

В случае правильной пирамиды, основанием которой служит n-угольник с чётным числом вершин, доказательство аналогично. В случае, когда основанием пирамиды служит многоугольник с нечётным числом вершин, для доказательства можно воспользоваться тем, что основание высоты правильной пирамиды совпадает с центром окружности, описанной около его основания.

ТЕОРЕМА

О площади боковой поверхности правильной пирамиды

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему

S_бок = ½ P_оснℓ

Доказательство проведём для правильной шестиугольной пирамиды TABCDEF:

В случае правильной n-угольной пирамиды доказательство аналогично Пусть периметр основания пирамиды P_осн, апофему обозначим буквой ℓ. Боковые грани правильной пирамиды являются равнобедренными треугольниками, основания которых - стороны основания пирамиды, а высоты равны апофеме ℓ.

Площадь боковой поверхности равна сумме указанных равнобедренных треугольников, т.е.:

S_бок = ½ ABℓ + ½ BCℓ + ½ CDℓ + ½ DEℓ + ½ EFℓ + ½ FAℓ = ½ ℓ(AB + BC + CD + DE + EF + FA) = ½ P_оснℓ.

• Апофема правильной пирамиды

Пред. ← Содержание → След.