Пред. ← Содержание → След.

Касательная плоскость к сфере (шару)

Плоскость и сфера (шар) радиуса R имеют общие точки, если выполняется неравенство d ≤ R (d - расстояние от центра сферы (шара) до плоскости).

ОПРЕДЕЛЕНИЯ:

Касательной плоскостью к сфере называется плоскость, имеющая со сферой только одну общую точку, а их общая точка называется точкой касания плоскости и сферы.

Касательной плоскостью к шару называется касательная плоскость к сфере, которая является границей этого шара.

ТЕОРЕМА:

Признак касательной плоскости

Пусть OF - радиус сферы W(O,R), точка F ∈ α, α ⊥ OF.Плоскость, перпендикулярная радиусу сферы и проходящая через его конец, лежащий на сфере касается сферы.

Пусть M - произвольная точка плоскости α. По условию OF ⊥ α, следовательно OM - наклонная к плоскости α, и поэтому OM>OF, т.е. OM>R. Следовательно точка M не может лежать на сфере, значит плоскость α имеет со сферой только одну общую точку F, т.е. касается сферы в точке F.

ТЕОРЕМА:

О свойстве касательной плоскости к сфере

Касательная плоскость к сфере перепендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.

Пусть плоскость α касается сферы W(O,R) в точке F. По определению касательной плоскости точка F является единственной общей точкой плоскости α и сферы W(O,R). Следовательно любая другая точка M плоскости α лежит вне сферы, и поэтому OM > OF. Значит, длина отрезка OF - расстояние от центра O до плоскости α, т.е. OF ⊥ α.

Пред. ← Содержание → След.