Пред. ← Содержание → След.

Пирамида описанная около сферы

Если в основание пирамиды можно вписать окружность, а основание высоты пирамиды является центром этой окружности, то в пирамиду можно вписать сферу.

Рассмотрим для определнности пятиугольную пирамиду SA₁A₂A₃A₄A₅. Пусть точки F₁F₂F₃F₄F₅ - точки касания вписанной в основание пирамиды окружности. Прямоугольные треугольники ∆CSF₁, ∆CSF₂, ∆CSF₃, ∆CSF₄, ∆CSF₅ равны и CS их общий катет. Значит биссектрисы углов при вершинах F₁F₂F₃F₄F₅ пересекают катет в одной и той же точке O.

Пусть OT₁,OT₂,...,OT₅ - перпендикуляры, опущенные на гипотенузы SF₁,SF₂,...,SF₅. Плоскость SF₁C перпендикулярна плоскости SA₁A₂, следовательно OT₁ ⊥ SA₁A₂, аналогично OT₂ ⊥ SA₂A₂, ..., OT₅ ⊥ SA₁A₅. Т.к. OC = OT₁ = OT₂ = ... = OT₅, то точка O находится на одном и том же расстоянии от плоскостей всех граней пирамиды. Значит сфера W(O,OC) касается всех граней пирамиды, т.е. вписана в данную пирамиду.

Пред. ← Содержание → След.