Пред. ← Содержание → След.

Правильная пирамида вписанная в сферу

Около любой правильной пирамиды можно описать сферу (любую правильную пирамиду можно вписать в сферу)

Рассмотрим шестиугольную правильную пирамиду TABCDEF. Пусть TO - высота пирамиды. В плоскости ATO проведём серединный перепендикуляр ℓ к отрезку AT. Обозначим буквой P точку пересечения прямых ℓ и TO, точкой K - точку пересечения прямых ℓ и AT (AK = KT, K ∈ AT, K ∈ ℓ, PK ∈ TO, PK ∈ ℓ, ℓ ⊥ AT). Тогда PT=PA, т.к. любая точка серединного перепендикуляра к отрезку AT равноудалена от концов этого отрезка.

Точка P равноудалена от вершин основания правильной пирамиды, т.е. PA = PB = PC = PD = PE = PF (т.к. ∆AOP = ∆BOP = ∆COP = ∆DOP = ∆EOP = ∆FOP, эти треугольники прямоугольные, OP - их общая сторона и OA = OB = OC = OD = OE = OF).

Итак, PT = PA и PA = PB = PC = PD = PE = PF, таким образом точка P равноудалена от всех вершин пирамиды. Сфера W(P,PT) с центром в точке P и радиусом PT есть сфера, описанная около рассматриваемой правильной пирамиды

Таким образом, центр сферы, описанной около правильной пирамиды, есть точка пересечения прямой, на которой лежит высота пирамиды, и серединного перпендикуляра к боковому ребру, проведенному в плоскости, содержащей высоту и боковое ребро пирамиды.

Центр сферы может лежать на высоте пирамиды, лежать на её продолжении, или совпадать с основанием её высоты.

Пред. ← Содержание → След.