Пред. ← Содержание → След.

О шаре

Шаром принято называть тело, ограниченное сферой (поверхностью, определяемой как геометрическое место точек пространствая, удаленных на данное расстояние от данной точки). Однако оба слова "шар" и "сфера" происходят от одного и того же греческого слова "сфайра" - мяч. При этом слово "шар" от перехода согласных сф в ш.

В древности сфера была в большом почете. Астрономические наблюдения над небесным сводом неизменно вызывали образ сферы.

Пифагорейцы учили о существовании десяти сфер Вселенной, по которым якобы двигаются небесные тела. Они утверждали, что расстояние этих тел друг от друга пропорциональны интервалам музыкальной гаммы. В этом усматривали элменты мировой гармонии. В подобных полумистических рассуждениях заключалась пифагорова "музыка сфер".

Аристотель считал, что шарообразная форма, как наиболее совершенная свойственна Луне, Солнцу, Земле и всем мировым телам. Развивая взгляды Евдокса, он полагал, что Земля окружена рядом концентрических сфер.

Сфера всегда широко применлась в различных областях науки и техники. В сферической астрономии решаются задачи, связанные с изучением видимого расположения и движения светил на небесной сфере, применяются формулы сферической тригонометрии, изучающей зависимость между сторонами и углами сферических треугольников.

Область математики, в которой изучаются фигуры на поверхности сферы, называется сферической геометрией. Сечение сферы какой-либо плоскостью дает окружностью. Если плоскость проходит через центр сферы, в сечении получается большая окружность, т.е. такая, центр и радиус которой совпают с центром и радиусом сферы.

Большие окружности на сфере выполняют роль, аналогичную роли прямых линий на плоскости: через две точки сферы, не являющиеся концами одного и того же диаметра, проходит одна и та же большая окружность. Сферические треугольники составляются из дуг больших окружностей. Некоторые свойства сферических треугольников совпадают со свойствами обычных, плоских треугольников, например, каждая сторона меньше суммы и больше разности двух сторон; имеют место известные три признака равенства треугольников. Однако во многом сферические треугольники отличаются от плоских. На сфере не имеет места аксиома параллельности Евклида, так как любые две большие окружности ("прямые") пересекаются. Поэтому на сфере не существует подобных треугольников, сумма углов сферического треугольника всегда больше двух прямых углов.

В XI книге "Начал" Евклид определяет шар как фигуру, описанную вращающимся около неподвижного диаметра полукругом. Он доказывает только теорему о том, что объёмы двух шаров относятся как кубы их радиусов, но не выводит формулы и не дает никакого правила, которого, вероятно, и не знал для вычисления площади поверхности сферы или объема шара.

Вывод формулы объема шара и площади поверхности сферы - одно из величайших открытий Архимеда.

В его произведении "О шаре и цилиндре" имеются следующие теоремы:

1. Площадь поверхности сферы равна учетверенной площади ее большего круга.
2. Объем шара равен учетверенному объёму конуса, основанием которого служит большой круг, а высотой - радиус шара.
3. Объём цилиндра в полтора раза больше объёма вписанного в его шара.
4. Площадь поверхности цилиндра, включая основания, равна 3/2 площади поверхности вписанной сферы.

Цилиндр с вписанным шаром - символ одного из прекраснейших открытий Архимеда - был изображен на его надгробном камне в Сиракузах.

Пред. ← Содержание → След.