ГЛАВНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ
ГРОДНЕНСКОГО ОБЛАСТНОГО ИСПОЛНИТЕЛЬНОГО КОМИТЕТА
УЧРЕЖДЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ «ИВЬЕВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОЛЛЕДЖ»
ЭСО «МНОГОГРАННИКИ»
Пред. ← Содержание → След.
Задача №2
Основанием прямого
параллелепипеда ABCDA1B1C1D1
является параллелограмм со сторонами 10 см. и 6 см. и углом между ними 120°.
Большая диагональ параллелепипеда равна 14√2
Вычислите:
- длину бокового ребра параллелепипеда;
- угол наклона большей диагонали параллелепипеда к плоскости основания;
- длину меньшей диагонали параллелепипеда;
- площадь диагонального сечения DD1BB1;
- площадь боковой поверхности параллелепипеда;
- площадь полной поверхности параллелепипеда;
Из ∆ABC по теореме косинусов:
AC² = AB² + BC² - 2·AB·BC·cos∠ADB, тогда AC² = 6² + 10² - 2·6·10·; cos 120° = 36+100-120(-½) = 196; AC = 14 см.∆AA1C - прямоугольный, тогда по теореме Пифагора A1C² = AA1² + AC²; AA1² = (14√
2)² - 14√2= 196; AA1 = 14см.A1C - наклонная; A1A - перепендикуляр к плоскости основания; AC - проекция наклонной A1C на плоскость основания, тогда ∠A1CA - угол между прямой A1C и плоскостью основания (по определению угла между прямой и плоскостью). Т.к. в прямоугольном ∆AA1C AA1 = AC = 14, то ∆AA1C является равнобедренным, т.е. ∠A1CA = 45°.
В треугольнике ABD: ∠BAD = 180° - 120° = 60°. По теореме косинусов BD² = AB² + AD² - 2·AB·AD·cosα, тогда BD² = 36+100-120·(½) = 76; BD = 2√
19см.Рассмотрим ∆BB1D - прямоугольный, по теореме Пифагора B1D² = BB1² + BD² = 14² + 76 = 272; B1D = 4√
17см.SBB1DD1 = BB1·BD = 14·2√
19= 28√19см².Площадь боковой поверхности параллелепипеда найдём с помощью формулы Sбок = Pосн·h, где Pосн = 2(AB+AD) = 2(6+10) = 32 см; h = BB1 = 14 см., тогда Sбок = 32·14 = 448 см².
Площадь полной поверхности параллелепипеда найдём с помощью формулы Sполн = Sбок + 2Sосн. Т.к. основанием параллелепипеда является параллелограмм ABCD, то Sосн = AB·AD·sinα = 30√
3см², тогда Sполн = 448 + 60√3см².
Пред. ← Содержание → След.